本教材的主要内容为线性代数和变分法。众所周知，线性代数在数学中极其基础，它是许多重要的数学领域的核心，例如泛函分析基本上可看作线性代数在函数空间的应用，微分几何也建立在局域的多重线性代数之上。在物理学中，线性代数同样极其重要，它是描述很多物理理论的基础，除经典力学中的矢量概念之外，相对论中所用到的张量即具有多重线性结构的数学对象，而量子力学由于存在态叠加原理，要求整个理论为线性理论，可用线性代数的语言精确描写。变分法在物理学中不仅是提供一些有效的近似计算方法，更重要的是，它是物理学基本原理——最小作用量原理——的表述语言。目前国内线性代数教材大致分为面向工科专业和面向数学专业两类。工科线性代数的内容主要讲授行列式、矩阵和线性方程组，而不讲授或很少讲授抽象的线性空间、线性变换、内积空间等内容。但尽管行列式、矩阵等都是高度有用的工具，向量才是更重要的数学对象。因此线性代数的核心内容应该是线性空间及其上的线性变换，也正是这一部分内容在物理学中有着广泛的应用。数学专业的线性代数一般在高等代数课程中学习，其内容丰富，但一方面包含一些物理学中不太用得到的内容，比如多项式和λ矩阵理论，另一方面一些物理学中需要的内容也有所缺失，例如对偶空间和对偶基、复内积空间及其上的两类重要变换、线性变换的群结构、S-L型微分方程的本征值问题、厄米变换本征值的极值性质等。